Quant 面试题库：Brainteaser、概率与交易思维

这份清单面向 Jump Trading、Optiver、Jane Street、IMC、SIG、Akuna 等量化交易公司常见的面试能力要求：快算、概率直觉、期望值、博弈、交易定价、统计判断和清晰表达。

注意：本文不是公司内部原题合集，而是基于公开面经、公司公开准备资料、经典概率题和交易训练题整理出的题型地图。真正面试时，面试官更看重你的推理过程、边界条件、口头表达和修正错误的能力。

使用方法

• 第一遍：只看题目，限时口算或白板推导。
• 第二遍：点击“解答”检查思路，不要一开始就背答案。
• 第三遍：把每题改一个参数，确认自己不是只记住了特例。
• 面试表达顺序：先复述题意，再列变量，然后给出核心公式或递推，最后检查极端情况。

标记说明：

• 基础：必须熟练，通常可以在 1-3 分钟内解决。
• 中等：需要建模，通常需要 5-10 分钟。
• 困难：容易有陷阱，适合做深度训练。
• 重点：文末给出较完整解答，其余题给提示或关键思路。

题目目录

• 一、Mental Math 与估算
• 二、概率基础与条件概率
• 三、期望、方差与最优停止
• 四、组合计数
• 五、随机过程与 Markov Chain
• 六、博弈与策略
• 七、Brainteaser 与逻辑题
• 八、Market Making 与交易直觉
• 九、统计与数据直觉
• 十、编程与模拟
• 解答区

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一、Mental Math 与估算

MM-001 复利心算

难度：基础｜标签：心算、近似｜解答

不使用计算器，估算 $1.01^{100}$、$0.99^{100}$ 和 $1.05^{20}$。要求说明你用了什么近似。

MM-002 快速赔率换算

难度：基础｜标签：赔率、概率｜解答

某事件 fair probability 是 37%。如果用 decimal odds 报价，fair odds 是多少？如果盘口给 2.80，期望收益是正还是负？

MM-003 Fermi 估算

难度：基础｜标签：估算、拆解｜解答

估算美国每天消耗多少杯咖啡。你不需要知道真实数字，但要给出可解释的拆分。

MM-004 交易速度题

难度：中等｜标签：心算、百分比｜解答

一个资产先上涨 12.5%，再下跌 20%，最后上涨 10%。最终价格相对初始价格变动多少？

MM-005 平方根估算

难度：基础｜标签：近似、波动率｜解答

不使用计算器，估算 $\sqrt{252}$、$\sqrt{365}$ 和 $\sqrt{10}$。这些数在波动率年化中为什么常见？

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二、概率基础与条件概率

P-001 三枚硬币

难度：基础｜标签：条件概率、样本空间｜解答

你抛三枚公平硬币。已知至少有一枚是正面，求三枚都是正面的概率。

P-002 两个孩子问题

难度：中等｜标签：条件概率、信息结构｜解答

一个家庭有两个孩子。已知至少一个是女孩，两个都是女孩的概率是多少？如果改成“你随机遇到其中一个孩子，她是女孩”，答案是否改变？

P-003 Monty Hall

难度：基础｜标签：Bayes、信息更新｜解答

三扇门后有一辆车和两只羊。你先选一扇门，主持人打开一扇有羊的门。你应该换门吗？胜率是多少？

P-004 假阳性检测

难度：重点｜标签：Bayes、base rate｜解答

某病在人群中的患病率是 1%。检测灵敏度 99%，特异度 95%。一个人检测阳性，他真正患病的概率是多少？

P-005 两个独立检测

难度：重点｜标签：条件独立、Bayes｜解答

沿用 P-004。现在同一个人做两种条件独立的检测，二者灵敏度都是 99%，特异度都是 95%。如果两次都阳性，患病概率是多少？

P-006 抽牌条件概率

难度：中等｜标签：条件概率、组合｜解答

从标准 52 张牌中抽 2 张。已知至少一张是 A，求两张都是 A 的概率。如果已知其中一张是黑桃 A，答案如何变化？

P-007 独立但不直观

难度：中等｜标签：独立性、反例｜解答

构造两个随机变量 $X,Y$，它们不相关，即 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，但并不独立。

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三、期望、方差与最优停止

EV-001 第一次正面

难度：基础｜标签：几何分布、期望｜解答

不断抛公平硬币，直到第一次出现正面为止。期望抛掷次数是多少？

EV-002 连续两个正面

难度：重点｜标签：递推、状态机｜解答

不断抛公平硬币，直到第一次出现连续两个正面 HH。期望抛掷次数是多少？

EV-003 骰子直到 6

难度：基础｜标签：几何分布｜解答

不断掷公平六面骰，直到第一次出现 6。期望掷骰次数是多少？方差是多少？

EV-004 骰子最大值

难度：重点｜标签：期望、尾和公式｜解答

掷 3 个公平六面骰，记最大值为 $M$。求 $E[M]$。

EV-005 选一次还是重抽

难度：重点｜标签：最优停止、阈值策略｜解答

你从 $[0,1]$ 均匀分布中抽一个数。你可以接受它，也可以放弃并重新抽一次，但第二次必须接受。最优策略和期望收益是多少？

EV-006 圣彼得堡悖论

难度：中等｜标签：期望、风险偏好｜解答

公平硬币一直抛到第一次正面。如果第 $n$ 次才出现正面，你获得 $2^n$ 元。这个游戏期望收益是多少？你愿意付无限价格参加吗？

EV-007 Coupon Collector

难度：重点｜标签：期望线性性、调和数｜解答

有 $n$ 种等概率优惠券，每次随机获得一种。集齐所有优惠券的期望次数是多少？

EV-008 抛硬币赌博

难度：中等｜标签：EV、止损、鞅直觉｜解答

你有 10 元，每次公平硬币，正面赢 1 元，反面输 1 元。到 20 元停止盈利，到 0 元破产。到达 20 元的概率是多少？期望游戏轮数是多少？

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四、组合计数

C-001 生日悖论

难度：重点｜标签：组合、近似｜解答

一个房间里至少多少人时，存在两人生日相同的概率超过 50%？给出近似推导。

C-002 同花概率

难度：基础｜标签：扑克牌、组合｜解答

5 张扑克牌中恰好同花的概率是多少？这里“同花”指 5 张同一花色，不排除顺子。

C-003 无相邻选择

难度：中等｜标签：组合、隔板法｜解答

从 1 到 20 中选 5 个数，要求任意两个都不相邻。共有多少种选法？

C-004 错排

难度：中等｜标签：容斥、错排｜解答

有 8 个人随机拿 8 顶帽子。没有任何人拿到自己帽子的概率是多少？

C-005 抽球无放回

难度：中等｜标签：超几何分布｜解答

袋中有 7 个红球、5 个蓝球、4 个绿球。无放回抽 6 个，恰好 3 红、2 蓝、1 绿的概率是多少？

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五、随机过程与 Markov Chain

RW-001 Gambler’s Ruin 概率

难度：重点｜标签：随机游走、边界条件｜解答

你有 $i$ 元，目标是到 $N$ 元，每轮以概率 $p$ 赢 1 元，以概率 $q=1-p$ 输 1 元。到达 $N$ 前不破产的概率是多少？分别考虑 $p=1/2$ 和 $p\ne 1/2$。

RW-002 随机游走回到原点

难度：中等｜标签：随机游走、递归性｜解答

在整数线上从 0 出发，每步等概率向左或向右走。最终是否会回到 0？在二维、三维情形会怎样？

RW-003 三状态天气链

难度：中等｜标签：Markov Chain、平稳分布｜解答

天气只有晴、阴、雨三种状态，转移矩阵为

$$P= \begin{pmatrix} 0.7&0.2&0.1\\ 0.3&0.4&0.3\\ 0.2&0.3&0.5 \end{pmatrix}.$$

长期来看三种天气各占多少比例？

RW-004 抛硬币模式等待时间

难度：困难｜标签：pattern matching、状态机｜解答

公平硬币中，第一次出现模式 HTH 的期望等待时间是多少？和 HHH 相比哪个更长？

RW-005 吸收链

难度：中等｜标签：吸收状态、递推｜解答

一只粒子在状态 0,1,2,3 上移动，0 和 3 是吸收态。从 1 出发，每步等概率向左右移动。到达 3 而不是 0 的概率是多少？期望吸收时间是多少？

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六、博弈与策略

G-001 石头剪刀布混合策略

难度：基础｜标签：Nash、混合策略｜解答

为什么标准石头剪刀布的均衡策略是三种手势各出 $1/3$？如果赢得 2 分、平局 0 分、输掉 1 分，均衡是否变化？

G-002 二价拍卖

难度：重点｜标签：拍卖、激励相容｜解答

在 sealed-bid second-price auction 中，为什么诚实报价是弱占优策略？

G-003 Dollar Auction

难度：中等｜标签：博弈、沉没成本｜解答

拍卖 1 美元，最高价者获得 1 美元，但最高价和第二高价都要支付自己的出价。为什么这个游戏容易导致非理性升级？

G-004 猜均值的 2/3

难度：中等｜标签：迭代删除、level-k｜解答

一群人各自选择 0 到 100 的一个数，最接近所有人平均数的 $2/3$ 者获胜。完全理性共同知识下均衡是多少？现实实验中为什么常不是这个数？

G-005 信息不完全交易

难度：困难｜标签：adverse selection、市场微观结构｜解答

你是 market maker，客户要向你买入或卖出一项资产。你不知道客户是否有信息优势。为什么 bid-ask spread 必须覆盖 adverse selection 风险？

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七、Brainteaser 与逻辑题

B-001 100 个囚犯和灯泡

难度：重点｜标签：逻辑、协议设计｜解答

100 个囚犯被单独随机带入一个房间，房间里有一个灯泡，初始状态未知。囚犯入房时可以开关灯，也可以保持不变。某个囚犯可以宣布“所有人都至少进过房间一次”，如果正确全员释放，错误全员失败。囚犯事先能商量策略。如何保证最终正确宣布？

B-002 十二球称重

难度：困难｜标签：信息论、三分搜索｜解答

12 个球中有一个重量异常，不知道偏重还是偏轻。只有一架天平，最多称 3 次。如何找出异常球并判断轻重？

B-003 海盗分金币

难度：中等｜标签：逆向归纳｜解答

5 个理性海盗按资历从高到低分 100 枚金币。最高资历者提案，若至少半数同意则执行，否则他被扔下船，剩下的人继续。海盗先保命，再最大化金币，再偏好把别人扔下船。第一个海盗如何分配？

B-004 蓝眼睛岛民

难度：困难｜标签：共同知识、归纳｜解答

岛上有若干蓝眼睛人，他们能看到别人眼睛颜色但不知道自己颜色。外来者公开说：“岛上至少有一个蓝眼睛人。”为什么这句话可能改变所有人的行为？

B-005 三个开关和一盏灯

难度：基础｜标签：物理信息、实验设计｜解答

门外有三个开关，门内有一盏灯。你只能进房间一次，如何判断哪个开关控制灯？

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八、Market Making 与交易直觉

MK-001 Fair Price 与 spread

难度：重点｜标签：market making、EV｜解答

某事件有 60% 概率发生，发生时合约支付 1，不发生支付 0。fair price 是多少？如果你要同时报 bid 和 ask，为什么不能都报 0.60？

MK-002 库存风险

难度：中等｜标签：inventory、risk｜解答

你连续给客户报价，发现自己一直在买入同一个资产，库存越来越大。即使 fair value 不变，你应该如何调整 bid 和 ask？

MK-003 Kelly Criterion

难度：重点｜标签：Kelly、增长率｜解答

你有一个下注机会：以概率 55% 赢，赢时获得下注额的 1 倍，输时损失下注额。为了最大化长期 log wealth，应该下注财富的多少比例？

MK-004 二元合约反推概率

难度：基础｜标签：implied probability｜解答

一个二元合约价格是 0.37，到期支付 0 或 1。如果忽略利率和风险溢价，市场隐含概率是多少？为什么真实概率不一定等于它？

MK-005 订单流信息

难度：困难｜标签：Bayes、order flow｜解答

你认为某资产 fair value 是 100，并报价 99.8 / 100.2。一个客户立刻 hit 你的 bid，向你卖出大量资产。你是否应该更新 fair value？为什么？

MK-006 相关资产定价

难度：中等｜标签：相关性、hedge｜解答

资产 A 和 B 高度正相关。你持有大量 A 的多头库存。客户现在想向你买 B。你在 B 上的报价应该如何受 A 库存影响？

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九、统计与数据直觉

S-001 置信区间

难度：基础｜标签：统计推断｜解答

你观察到 100 次独立交易信号，其中 57 次盈利。如何粗略判断这个信号是否显著优于 50%？

S-002 多重检验

难度：重点｜标签：selection bias、p-hacking｜解答

你测试了 1000 个交易信号，其中 20 个在历史数据上 p-value 小于 0.01。你应该兴奋吗？为什么？

S-003 回归到均值

难度：基础｜标签：统计直觉｜解答

某交易员今年收益排名前 1%。明年你是否应预期他仍然排名前 1%？为什么？

S-004 A/B Test 停止规则

难度：中等｜标签：实验设计、optional stopping｜解答

你每天看一次 A/B test 结果，只要 p-value 小于 0.05 就停止并宣布成功。这个流程有什么问题？

S-005 相关不等于因果

难度：基础｜标签：因果、confounding｜解答

你发现某股票在新闻数量多的日子波动更高。能否说新闻导致波动？还需要考虑什么？

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十、编程与模拟

CODE-001 Monte Carlo 验证 Monty Hall

难度：基础｜标签：simulation、sanity check｜解答

写伪代码模拟 Monty Hall，验证换门胜率约为 $2/3$。

CODE-002 按权重采样

难度：中等｜标签：sampling、prefix sum｜解答

给定权重数组 $w_1,\ldots,w_n$，设计一个函数按概率 $w_i / \sum_j w_j$ 返回索引 $i$。

CODE-003 Reservoir Sampling

难度：中等｜标签：streaming、sampling｜解答

数据流长度未知，只能保存一个元素。如何等概率地从所有已经看到的元素中抽取一个？

CODE-004 洗牌算法

难度：基础｜标签：Fisher-Yates、公平性｜解答

如何实现公平随机洗牌？为什么“对每个位置随机交换任意位置”如果写错，可能不是均匀分布？

CODE-005 模拟 Coupon Collector

难度：中等｜标签：simulation、EV｜解答

写伪代码估计 $n=100$ 时集齐所有优惠券所需次数的均值，并和理论值比较。

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解答区

一、Mental Math 与估算答案

MM-001 解答：复利心算

核心近似是 $(1+x)^n \approx e^{nx}$，当 $x$ 较小时很好用。

• $1.01^{100} \approx e^1 \approx 2.718$。更精细地说，$\ln(1.01)\approx 0.00995$，所以约 $e^{0.995}\approx 2.70$。
• $0.99^{100} \approx e^{-1} \approx 0.368$。更精细约 $0.366$。
• $1.05^{20} \approx e^1 \approx 2.718$，但因为 $\ln(1.05)\approx 0.0488$，所以约 $e^{0.976}\approx 2.65$。

面试重点不是记住答案，而是能说出 log approximation，并知道什么时候误差会变大。

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MM-002 解答：快速赔率换算

Decimal fair odds 是概率的倒数：$1/0.37 \approx 2.70$。如果盘口给 2.80，则每下注 1 的期望净收益为

$$0.37\times 1.80 - 0.63\times 1 = 0.036.$$

所以是正期望，约 3.6% edge。也可以用 $2.80\times 0.37 - 1 = 0.036$ 直接算总回报 EV。

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MM-003 解答：Fermi 估算

一种可解释拆分：

• 美国人口约 3.3 亿。
• 假设成年人占 75%，约 2.5 亿。
• 假设 60% 成年人喝咖啡，约 1.5 亿人。
• 平均每个喝咖啡者每天 1.5-2 杯。

估算结果约 2.25-3 亿杯/天。Fermi 题的评分重点是拆分是否合理、数量级是否稳定、能否解释最大不确定性来自哪里。

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MM-004 解答：交易速度题

价格乘数是

$$1.125 \times 0.8 \times 1.1 = 0.9 \times 1.1 = 0.99.$$

最终下跌 1%。注意涨跌百分比不能直接相加。

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MM-005 解答：平方根估算

• $\sqrt{252}$ 约在 15.8 到 15.9，因为 $16^2=256$。
• $\sqrt{365}$ 约 19.1，因为 $19^2=361$。
• $\sqrt{10}\approx 3.16$。

日波动率年化常用 $\sigma_{\text{annual}}\approx \sigma_{\text{daily}}\sqrt{252}$，其中 252 近似一年交易日数；365 用于自然日尺度；平方根来自独立收益方差随时间线性累加。

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二、概率基础与条件概率答案

P-001 解答：三枚硬币

至少一枚正面排除了 TTT，剩余 7 个等概率结果。三枚都是正面只有 HHH 一个结果，所以概率是 $1/7$。

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P-002 解答：两个孩子问题

若只知道“至少一个是女孩”，样本空间是 GG、GB、BG，答案是 $1/3$。

若“随机遇到其中一个孩子，她是女孩”，信息生成方式不同。可以把孩子个体作为样本，见到女孩后另一个孩子仍有 $1/2$ 概率是女孩，所以答案是 $1/2$。这题重点是信息如何被观察到。

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P-003 解答：Monty Hall

应该换门。初选中车概率是 $1/3$，初选中羊概率是 $2/3$。主持人知道车的位置并打开羊门后，若你初选错，换门必胜；若初选对，换门失败。因此换门胜率 $2/3$。

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P-004 解答：假阳性检测

用 Bayes：

$$P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)P(D)}{P(+\mid D)P(D)+P(+\mid \bar D)P(\bar D)}.$$

代入：

$$\frac{0.99\times 0.01}{0.99\times 0.01+0.05\times 0.99} =\frac{0.0099}{0.0594} \approx 16.7\%.$$

检测看起来很准，但低 base rate 会让假阳性占阳性样本的大部分。

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P-005 解答：两个独立检测

条件独立意味着：

$$P(++\mid D)=0.99^2,\quad P(++\mid \bar D)=0.05^2.$$

所以

$$P(D\mid ++)= \frac{0.99^2\times 0.01}{0.99^2\times 0.01+0.05^2\times 0.99}.$$

分子 $0.009801$，分母约 $0.0122765$，结果约 $79.8\%$。

关键陷阱：两个检测只有在给定真实患病状态后独立，不能直接说两个阳性事件无条件独立。

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P-006 解答：抽牌条件概率

已知至少一张 A：

$$P(\text{两张 A}\mid \text{至少一张 A}) =\frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}-\binom{48}{2}} =\frac{6}{198}=\frac{1}{33}.$$

已知其中一张是黑桃 A，则另一张从剩余 51 张里抽，是 A 的概率为 $3/51=1/17$。

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P-007 解答：独立但不直观

令 $X$ 在 $\{-1,0,1\}$ 上均匀分布，令 $Y=X^2$。则

$$E[X]=0,\quad E[XY]=E[X^3]=0,$$

所以 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$。但 $Y$ 完全由 $X$ 决定，显然不独立。例如 $P(Y=0\mid X=0)=1$，但 $P(Y=0)=1/3$。

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三、期望、方差与最优停止答案

EV-001 解答：第一次正面

这是参数 $p=1/2$ 的几何分布，期望 $1/p=2$。

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EV-002 解答：连续两个正面

设 $E_0$ 为当前没有连续前缀时的期望等待时间，$E_1$ 为刚看到一个 H 后的期望等待时间。

从 $E_0$：

$$E_0=1+\frac12 E_1+\frac12 E_0.$$

从 $E_1$：下一次若 H 则结束，若 T 则回到 $E_0$：

$$E_1=1+\frac12\cdot 0+\frac12 E_0.$$

第一式化为 $E_0=2+E_1$。代入第二式：

$$E_0=2+1+\frac12E_0,$$

所以 $E_0=6$。

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EV-003 解答：骰子直到 6

几何分布参数 $p=1/6$。期望 $1/p=6$，方差 $(1-p)/p^2=(5/6)/(1/36)=30$。

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EV-004 解答：骰子最大值

用尾和公式：

$$E[M]=\sum_{k=1}^6 P(M\ge k) =\sum_{k=1}^6 \left(1-P(M\le k-1)\right).$$

对 3 个骰子，$P(M\le m)=(m/6)^3$。因此

$$E[M]=\sum_{k=1}^6 \left(1-\left(\frac{k-1}{6}\right)^3\right) =6-\frac{0^3+1^3+\cdots+5^3}{216}.$$

$0^3+\cdots+5^3=225$，所以

$$E[M]=6-\frac{225}{216}=\frac{1071}{216}\approx 4.958.$$

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EV-005 解答：选一次还是重抽

第二次必须接受，期望是 $1/2$。所以第一次抽到 $x$ 时，如果 $x\ge 1/2$ 接受，否则重抽。

最优期望：

$$E[\max(X,1/2)] = \int_0^{1/2}\frac12 dx+\int_{1/2}^1 x dx =\frac14+\frac{3}{8}=\frac58.$$

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EV-006 解答：圣彼得堡悖论

期望收益：

$$\sum_{n=1}^{\infty}P(N=n)2^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}2^n =\sum_{n=1}^{\infty}1=\infty.$$

但真实支付意愿不会无限，因为财富有限、边际效用递减、赌场资金有限、风险约束存在。面试中应区分数学期望和可交易价格。

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EV-007 解答：Coupon Collector

已经收集到 $k$ 种时，获得新种类的概率是 $(n-k)/n$，等待新种类的期望是 $n/(n-k)$。总期望：

$$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n}{n-k} =n\sum_{j=1}^{n}\frac1j =nH_n.$$

近似 $n(\log n+\gamma)$。

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EV-008 解答：抛硬币赌博

公平随机游走从 10 到达 20 前不碰 0 的概率是 $10/20=1/2$。

公平情形的期望吸收时间为 $i(N-i)$。这里 $i=10,N=20$，所以期望轮数 $100$。

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四、组合计数答案

C-001 解答：生日悖论

没有两人同生日的概率约为

$$\prod_{k=0}^{m-1}\left(1-\frac{k}{365}\right) \approx \exp\left(-\frac{m(m-1)}{2\cdot365}\right).$$

令重复概率超过 50%，即无重复概率小于 50%：

$$\exp\left(-\frac{m(m-1)}{730}\right)<0.5.$$

所以 $m(m-1)>730\ln2\approx506$，$m=23$。经典答案是 23 人。

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C-002 解答：同花概率

总手牌数 $\binom{52}{5}$。同花手牌：先选花色 4 种，再从该花色 13 张中选 5 张：

$$\frac{4\binom{13}{5}}{\binom{52}{5}}.$$

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C-003 解答：无相邻选择

从 $1,\ldots,20$ 选 $5$ 个不相邻数。设原选择为 $a_1<\cdots<a_5$，令 $b_i=a_i-(i-1)$。则 $1\le b_1<\cdots<b_5\le 16$。答案是

$$\binom{16}{5}.$$

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C-004 解答：错排

错排数

$$!8=8!\sum_{k=0}^{8}\frac{(-1)^k}{k!}.$$

概率是 $!8/8!$，约为 $1/e\approx 36.8\%$。精确值可按上式计算。

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C-005 解答：抽球无放回

超几何分布：

$$\frac{\binom73\binom52\binom41}{\binom{16}{6}}.$$

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五、随机过程与 Markov Chain 答案

RW-001 解答：Gambler’s Ruin 概率

设 $u_i$ 是从 $i$ 出发先到 $N$ 而不是 0 的概率。边界 $u_0=0,u_N=1$，递推：

$$u_i=pu_{i+1}+qu_{i-1}.$$

若 $p=q=1/2$，解是线性的：

$$u_i=\frac{i}{N}.$$

若 $p\ne q$，通解为

$$u_i=A+B\left(\frac{q}{p}\right)^i.$$

代入边界得

$$u_i=\frac{1-(q/p)^i}{1-(q/p)^N}.$$

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RW-002 解答：随机游走回到原点

一维简单对称随机游走以概率 1 最终回到原点，二维也以概率 1 回到原点；三维及以上不是，回到原点的概率小于 1。这是随机游走 recurrence/transience 的经典结论。面试通常不要求证明，但要知道维度会改变结论。

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RW-003 解答：三状态天气链

求平稳分布 $\pi$，满足 $\pi P=\pi$ 且 $\pi_1+\pi_2+\pi_3=1$。实战中可列线性方程或用数值方法。此题核心是知道长期比例不是逐行平均，而是左特征向量。

一个快速数值解约为：

$$\pi\approx(0.4565,0.2826,0.2609).$$

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RW-004 解答：抛硬币模式等待时间

HTH 的期望等待时间是 10，HHH 的期望等待时间是 14。直觉上，HHH 有更强的自重叠结构，失败后可能留下部分前缀，但某些失败会让等待更久；严谨做法是建状态机。

对 HTH，设状态 0 表示没有匹配前缀，状态 1 表示已匹配 H，状态 2 表示已匹配 HT：

$$E_0=1+\frac12E_1+\frac12E_0,$$ $$E_1=1+\frac12E_1+\frac12E_2,$$ $$E_2=1+\frac12\cdot0+\frac12E_0.$$

解得 $E_0=10$。

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RW-005 解答：吸收链

到达 3 的概率从 1 出发是 $1/3$，这是公平 gambler’s ruin 的 $i/N$。

期望吸收时间从 $i$ 出发为 $i(N-i)$，这里 $N=3,i=1$，所以是 2 步。也可列递推：

$$t_1=1+\frac12t_2,\quad t_2=1+\frac12t_1,$$

解得 $t_1=t_2=2$。

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六、博弈与策略答案

G-001 解答：石头剪刀布混合策略

标准情形中，如果你三种手势不是各 $1/3$，对手可以增加克制你高频手势的策略。均衡要求对手面对你的混合策略时，出任意纯策略的期望收益相同，因此三者概率相等。

如果赢 2、输 -1、平 0，仍然是对称零和结构，均衡仍为各 $1/3$。

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G-002 解答：二价拍卖

设你的真实价值为 $v$，最高其他报价为 $m$。二价拍卖中，若你赢，支付 $m$，不是自己的报价。

• 若 $m<v$，你想赢；诚实报 $v$ 会赢。报低到低于 $m$ 会错误地输掉正收益机会。
• 若 $m>v$，你想输；诚实报 $v$ 会输。报高到高于 $m$ 会错误地赢下负收益交易。
• 若 $m=v$，赢输都无差异。

所以诚实报价是弱占优策略。

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G-003 解答：Dollar Auction

第二高价也要付款，使得落后者面临“再加一点可能减少损失”的局部激励。例如你已出 0.95 美元，对手出 0.96 美元；如果放弃，你损失 0.95；如果出 0.97 并赢，你净赚 0.03。双方不断用局部理性选择推动总出价超过 1 美元。

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G-004 解答：猜均值的 2/3

完全理性共同知识下，任何高于 $66.67$ 的数不可能赢，迭代删除后任何高于 $44.44$ 的数也不可能赢，继续下去唯一极限是 0。

现实中常出现 20-35 一带，因为参与者不是无限层级理性，而是 level-k 推理：我想别人会猜 50，所以我猜 33；我想别人会猜 33，所以我猜 22。

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G-005 解答：信息不完全交易

客户可能因为流动性需求交易，也可能因为掌握信息交易。如果 informed trader 只在价格对他有利时交易，market maker 成交后的条件期望会变差：

• 客户打你的 ask 买入，可能说明真实价值高于你估计。
• 客户 hit 你的 bid 卖出，可能说明真实价值低于你估计。

Spread 需要覆盖库存风险、运营成本和 adverse selection。否则你会在无信息客户身上小赚，在有信息客户身上大亏。

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七、Brainteaser 与逻辑题答案

B-001 解答：100 个囚犯和灯泡

指定一个囚犯做计数者，其他 99 人每人只在自己第一次看到灯灭时把灯打开一次。计数者每次看到灯亮，就把灯关掉并计数加 1。当计数达到 99 时，计数者知道其他每个人至少进过一次，于是宣布。

如果初始灯泡未知，需要处理初始为亮的情况。一种稳妥策略是让非计数者每人开灯两次，计数者数到 $2\times99$ 后宣布；初始状态最多造成一次额外亮灯，不会导致误判。也可以设计预热阶段消除初始状态。

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B-002 解答：十二球称重

完整决策树很长，核心原则是每次称重有三种结果：左重、右重、平衡。3 次最多区分 $3^3=27$ 种结果。异常球有 $12\times2=24$ 种可能，所以信息量刚够。

经典策略是把球编号 1-12：

1. 第一次称 1,2,3,4 对 5,6,7,8。
2. 若平衡，异常在 9-12；用第二、三次与已知正常球比较即可。
3. 若不平衡，异常在 1-8，且方向有约束；第二次重新组合部分可疑球与正常球，使三种结果尽量均分。

面试中若要求完整方案，需要画三层决策树。更重要的是先说明信息论下界，再给出分组策略，不要盲试。

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B-003 解答：海盗分金币

逆向归纳：

• 1 人时，他拿 100。
• 2 人时，资历高者自己投赞成即可通过，拿 100，另一个 0。
• 3 人时，需要 2 票。第 3 人在 2 人局会拿 0，所以给他 1，自己 99。
• 4 人时，需要 2 票。第 2 人在 3 人局会拿 0，所以给他 1，自己 99。
• 5 人时，需要 3 票。第 3、5 人在 4 人局会拿 0，所以各给 1，自己拿 98。

所以分配为：最高资历者 98，第三和第五各 1，其他 0。不同题设若“半数”是否包含自己、平票规则不同，答案会变。

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B-004 解答：蓝眼睛岛民

外来者的话把“至少有一个蓝眼睛人”变成共同知识。若有 1 个蓝眼睛人，他看不到其他蓝眼睛人，听到公告后当天知道自己是蓝眼睛并离开。若有 2 个，他们各自看到 1 个；第一天没人离开后，他们知道不是 1 个，于是第二天离开。归纳可得，若有 $n$ 个蓝眼睛人，他们会在第 $n$ 天一起离开。

核心不是新事实，而是共同知识层级发生变化。

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B-005 解答：三个开关和一盏灯

打开开关 A 一段时间后关掉，打开开关 B，然后进房间：

• 灯亮：B 控制。
• 灯灭但灯泡热：A 控制。
• 灯灭且灯泡冷：C 控制。

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八、Market Making 与交易直觉答案

MK-001 解答：Fair Price 与 spread

二元合约 fair price 是期望支付：

$$0.6\times1+0.4\times0=0.60.$$

不能 bid 和 ask 都报 0.60，因为成交有成本和风险：订单流可能有信息、库存会波动、你需要补偿资本占用。合理报价可能是 0.58 / 0.62，具体宽度取决于风险和竞争。

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MK-002 解答：库存风险

如果库存越来越大，继续买入会增加风险。即使 fair value 不变，也应该降低 bid，让自己不那么愿意买；同时可能降低 ask，让卖出更容易发生，从而减库存。报价中心可以向下偏移，spread 也可能变宽。

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MK-003 解答：Kelly Criterion

偶数赔率下注，赢概率 $p=0.55$，输概率 $q=0.45$。Kelly 比例：

$$f^*=p-q=0.10.$$

也可从最大化

$$g(f)=p\log(1+f)+q\log(1-f)$$

求导得到 $f=p-q$。实际交易常用 fractional Kelly，因为估计误差和尾部风险会让 full Kelly 过激。

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MK-004 解答：二元合约反推概率

忽略利率和风险溢价时，价格 0.37 对应隐含概率 37%。但真实概率可能不同，因为价格还包含风险溢价、流动性、交易成本、市场参与者风险偏好和供需压力。

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MK-005 解答：订单流信息

应该考虑更新。客户愿意大量卖给你，说明在“成交发生”这个条件下，资产真实价值可能低于你原估计。更新幅度取决于你对客户信息优势、交易规模、市场流动性和对冲能力的判断。市场微观结构里，成交本身就是信息。

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MK-006 解答：相关资产定价

如果你已经多 A，而 B 与 A 高度正相关，那么卖出 B 会减少一部分共同风险，买入 B 会增加相关风险。因此客户要买 B 时，你卖 B 给客户可能有助于对冲 A 多头，报价可以更积极；反方向交易则需要更保守。重点是按组合风险而不是单资产孤立定价。

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九、统计与数据直觉答案

S-001 解答：置信区间

在零假设 $p=0.5$ 下，100 次中盈利次数的标准差是

$$\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{25}=5.$$

57 次盈利比 50 高 7，约 1.4 个标准差。双侧看并不显著，单侧也只是边缘。粗略结论：证据不足，需要更多样本。

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S-002 解答：多重检验

在 1000 个完全无效的信号中，p-value 小于 0.01 的期望数量就是 10 个。观察到 20 个不一定惊人，尤其如果还有数据清洗、参数选择、重复回测等隐性多重检验。需要 out-of-sample、交叉验证、控制 FDR 或 Bonferroni 之类修正。

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S-003 解答：回归到均值

不应简单预期继续前 1%。极端表现通常混合了能力和运气，下一期运气项大概率不会同样极端，所以表现会向长期均值回归。需要区分 skill 和 noise。

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S-004 解答：A/B Test 停止规则

反复查看并在显著时停止会增加假阳性率。经典 p-value 假设固定样本量或预设停止规则；optional stopping 改变了检验分布。应预注册样本量，或使用 sequential testing / alpha spending 方法。

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S-005 解答：相关不等于因果

不能直接说新闻导致波动。可能是波动导致新闻增加，也可能有第三因素同时导致新闻和波动，例如财报、宏观事件、监管公告。需要事件研究、时间顺序、控制变量或自然实验来支持因果判断。

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十、编程与模拟答案

CODE-001 解答：Monte Carlo 验证 Monty Hall

伪代码：

wins = 0
repeat N times:
  car = random choice from {0,1,2}
  first = random choice from {0,1,2}
  host = random door that is not car and not first
  switch = the remaining unopened door not equal first and not equal host
  if switch == car:
    wins += 1
return wins / N

当 $N$ 很大时结果应接近 $2/3$。

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CODE-002 解答：按权重采样

预处理 prefix sums：$s_i=\sum_{j\le i}w_j$。生成 $u\sim U(0,s_n)$，用二分找到第一个 $s_i\ge u$ 的索引。预处理 $O(n)$，每次采样 $O(\log n)$。如果要大量采样，可以考虑 alias method 做到 $O(1)$ 采样。

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CODE-003 解答：Reservoir Sampling

看到第 $k$ 个元素时，以概率 $1/k$ 用它替换当前样本。归纳可证每个元素在处理完 $n$ 个元素后保留概率都是 $1/n$。

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CODE-004 解答：洗牌算法

Fisher-Yates：

for i from n-1 down to 1:
  j = random integer from 0 to i
  swap a[i], a[j]

每个排列出现概率都是

$$\frac1n\cdot\frac1{n-1}\cdots\frac11=\frac1{n!}.$$

常见错误是每一步都从 $0$ 到 $n-1$ 随机交换，这样会产生 $n^n$ 条随机路径，而 $n!$ 通常不能整除 $n^n$，所以排列概率不均匀。

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CODE-005 解答：模拟 Coupon Collector

伪代码：

total = 0
repeat trials times:
  seen = empty set
  count = 0
  while size(seen) < n:
    seen.add(random integer from 1 to n)
    count += 1
  total += count
return total / trials

理论期望是 $nH_n$。当 $n=100$ 时，$H_{100}\approx \log 100+\gamma+1/(2n)\approx5.187$，所以期望约 519 次。

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继续训练建议

如果时间有限，优先刷这些题：

1. P-004、P-005：Bayes 和 base rate。
2. EV-002、EV-004、EV-005、EV-007：期望递推和最优停止。
3. RW-001、RW-004：随机过程建状态。
4. G-002、G-005：博弈与信息不对称。
5. MK-001、MK-003、MK-005：交易定价和订单流。
6. S-002、S-004：统计陷阱。

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