问题概述¶

假设某人感染 COVID，记为事件\(C\),
\(A\):“核酸检测结果为阳性”,\(B\):“抗原检测呈阳性”。
则\(P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)\)
请通过实际背景解释上述结果为什么成立。

问题解决¶

核酸检测阳性（\(A\)）和抗原检测阳性（\(B\)）虽然是两种不同的检测方法，但在已知某人已经感染了 COVID 后，两者检测结果的概率不会互相干扰。
在感染了 COVID 的情况下，核酸检测阳性与抗原检测阳性各自的概率是由各自的检测方法决定的。假设这两种检测方法的可靠性（比如灵敏度和特异性）是独立的，且都只与感染状态相关，不受彼此影响。

进一步探究¶

解释\(P(AB|\overline{C}) = P(A|\overline{C})\cdot P(B|\overline{C})\)以及
\(P(AB) = P(A)\cdot P(B)\) 是否成立。
先来看第一个式子。容易知道其表示的意思是已知某人没有感染COVID时，\(A\)和\(B\)是否条件独立。答案是显然的，由上述原因，这两种检测方法在已知是否感染的情况下是相互独立的。
再来看第二个式子。第二个式子是不成立的，在未知是否感染时，\(A\)发生会使\(B\)发生的可能性上升（影响\(B\)发生的可能性），同理，\(B\)发生也会影响\(A\)发生的可能性。因为我们有理由相信，当核酸检测为阳性时，抗原检测也大概率为 阳性（当然，这里包括了假阳性等情况）。因此\(A\),\(B\)并不是相互独立的。

对补充2的思考¶

补充2中假阳性、假阴性等条件的补充使得结果更加精确，同时也用到了条件独立，因为在已知是否患病的情况下，血液和尿液检查的结果是相互独立的。但是不难从\(1)\)和\(2)\)的结果中看出，如果在未知是否患病的情况下，两者的结果是会相互影响的。简言之，当一开始只进行血液检查时，由于人群中发病率较低，即使为阳性，患病几率也较低。但是当尿液检查也为阳性时，患病的几率也会提高。