Structural Causal Model¶

Def1¶

A signature \(\mathcal{S}\) consists of:

• \(\mathcal{X}\) - a set of endogenous variables
• \(\epsilon\) - a set of exogenous variables
• A range function \(\mathcal{R}\) mapping \(V \in X \epsilon\) to its alphabet \(\mathcal{R}(V)\)

\(R(\mathbb{V})\) = \(X_{V \in \mathcal{V}} \mathcal{R}(V)\)

\(\mathcal{G}\) directed acyclic graph(DAG) over \(\mathcal{X}\)

• \(pa_{\mathcal{G}}(X_i)\) parents
• \(ch_{\mathcal{G}}(X_i)\) children
• \(an_{\mathcal{G}}(X_i)\) ancestors
• \(de_{\mathcal{G}}(X_i)\) descendants
• \(\tilde{pa}_{\mathcal{G}}(X_i)\) inclusive parents & \(X_i\)

Def2¶

A DAG \(\tilde{\mathcal{G}}\) over nodes \(\mathcal{G} \cup \epsilon\) is compatible with signature \(S\) if \(pa_{\mathcal{G}}(\epsilon_i) = \emptyset\),\(\forall \epsilon_i \in \epsilon\).We call \((\tilde{\mathcal{G}},S)\) a template.

Def 3 ADMG¶

the latent projection of G denoted G(X) is a mixed graph w/:

\(X_i->X_j\) if \(X_i->X_j\) in G

\(X_i<->X_j\) if \(\exist \epsilon_k \in \epsilon\) s.t. \(\epsilon_k -> X_i\),\(\epsilon_k -> X_j\)

We call \(\tilde{\mathcal{G}}\) Markovian if \(|ch_{\mathcal{G}}(\epsilon)| \leq 1\),thus its latent projection is itself.

因果机制（Causal Mechanism）¶

• 定义：针对系统中每个内生变量的函数，输入为该变量父集范围内的取值，输出为该变量的取值
• 作用：定量描述内生变量与其他变量（父变量）的关系

结构因果模型（Structural Causal Model, SCM）¶

• 定义：由两部分组成的模型
• 外生变量的联合分布：外生变量之间相互独立的联合分布
• 索引的因果机制集合：每个内生变量对应的因果机制函数
• 特性：外生变量是系统随机性的来源，内生变量是外生变量和其父变量的确定性函数

6. 继承分布（Entailed Distribution）¶

• 定义：由结构因果模型导出的、内生变量X上的唯一分布
• 生成方式：通过外生变量的分布和因果机制函数向前推演得到

7. 干预（Intervention）¶

• 定义：由干预目标和干预因果机制组成的操作
• 干预目标：一组内生变量（被干预的节点）
• 干预因果机制：针对干预目标变量的新因果机制函数
• 介入式结构因果模型：应用干预后得到的新结构因果模型，其中未被干预的变量保持原因果机制

8. 完美干预（Do-Intervention）¶

• 定义：一种特殊的干预，将干预目标变量的因果机制函数替换为一个确定值
• 符号：用“do(X=a)”表示，其中X为干预目标变量，a为设定的确定值

9. 反事实（Counterfactual）¶

• 定义：用于回答“若改变某件事而其他条件不变，结果会如何”的概念，针对特定已观察结果的例子
• 实现方式：通过改变外生变量的分布（基于观察到的变量子集的条件分布）构建反事实结构因果模型
• 与干预的区别：干预面向未来（如“若未来实施某措施，结果会怎样”），反事实针对已发生的特定案例（如“若过去某因素不同，结果会怎样”）